设函数 f ( x )的定义域为 M ，具有性质 P ：对任意 x ∈ M ，都有 f ( x )＋ f ( x ＋2)

解题思路：证明：（1）因 f ( x )＝ a x ( a ＞0且 a ≠1)，所以 a x ≠ a x +2 ，即 f ( x )≠ f ( x ＋2).
2分
由题设以及算术平均与几何平均不等式，得
f ( x )＋ f ( x ＋2)＝ a x ＋ a x +2 ＞2 ＝2 a x +1 ＝2 f ( x ＋1)，
这与 f ( x )＋ f ( x ＋2)≤2 f ( x ＋1)矛盾.
故不存在函数 f ( x )＝ a x ( a ＞0且 a ≠1)满足性质 P .                         4分
（2）(ⅰ)由题设对任意 ， f ( x )＋ f ( x ＋2)≤2 f ( x ＋1)，所以
f ( x ＋2)－ f ( x ＋1)≤ f ( x ＋1)－ f ( x ).
于是对任意 x ∈N， d ( x ＋1)≤ d ( x ).                                     6分
下面用反证法证明：对任意 x ∈N， d ( x )≥0.
假设存在某个非负整数 k 使 d ( k )＜0，则由题设对任意 x ∈N， f ( x )∈N，得 d ( x )∈Z，于是有 d ( k )≤－1.                                                    8分
由任意 x ∈N， d ( x ＋1)≤ d ( x )，所以－1≥ d ( k )≥ d ( k ＋1)≥ d ( k ＋2)≥ ≥ d ( k ＋ n )≥ .，这里 n 是自然数. 于是有
d ( k ＋ n )＋ d ( k ＋( n －1))＋ d ( k ＋( n －2))＋ ＋ d ( k )≤( n ＋1) d ( k )≤( n ＋1)×(－1).
而 d ( k ＋ n )＋ d ( k ＋( n －1))＋ d ( k ＋( n －2))＋ ＋ d ( k )＝ f ( k ＋ n ＋1)－ f ( k )，
所以 f ( k ＋ n ＋1)－ f ( k )≤－( n ＋1).
取 n ＝ f ( k )，得 f ( k ＋ f ( k )＋1)≤－ f ( k )－1＋ f ( k )＝－1，这与 f ( k ＋ f ( k )＋1)∈N矛盾.
因此，必有对任意 x ∈N， d ( x )≥0.                                  12分
(ⅱ)由(ⅰ)可知 d (1)≥ d (2)≥ d (3)≥ ≥ d ( n )≥ ≥0.
当 d (1)＝0时，则有 d (1)＝ d (2)＝ d (3)＝ ＝ d ( n )＝0，结论成立.
当 d (1)≠0时，对任意 n ∈N，有 d ( n ) ∈N，且 d ( n ) ∈[0, d (1)].
因为在区间[0, d (1)]上的自然数只有有限个，而落在此区间上的自然数 d ( n )有无数多个，所以，必存在自然数 c ∈[0, d (1)]和无穷多个正整数 n ，满足 d ( n )＝ c .       16分

(1)根据新定义可知，不存在函数 f ( x )＝ a ^x ( a ＞0且 a ≠1)满足性质 P .

(2)运用反证法来证明正难则反的试题。也是证明不等式常用的方法之一。