请教一道数列极限的证明题设a>0,已知数列（Xn)定义如下：Xo>0,Xn+1=(1/2)*(Xn+(a/Xn)) (n

请教一道数列极限的证明题
设a>0,已知数列（Xn)定义如下：
Xo>0,Xn+1=(1/2)*(Xn+(a/Xn)) (n=0,1,2····）.求n-无穷大时,limXn
我怕来不及 2024-07-10 悬赏23金币 已收到3个回答
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wukui007

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由于X[0]>0,a>0以及X[n+1]=(X[n]+a/X[n])/2,n=0,1,2,...可知{X[n]}是正项数列.
又因为X[n+1]=(X[n]+a/X[n])/2≥2√(X[n]*a/X[n])/2=√a, n=0,1,2,...
此式表明{X[n]}从X[1]以后都大于等于√a, 也就说数列{X[n]}有下界,
对于n≥1,由X[n]≥√a,所以X[n+1]/X[n]=(1+a/X[n]^2)/2≤1,也就是{X[n]}从X[1]以后递减.
单调下降有下界数列必有极限,
所以lim{n-->∞}X[n]存在,设为t
对Xn+1=(1/2)*(Xn+(a/Xn))两边取极限即得：
t=(t+a/t)/2
解得t=√a.
19

嗅嗅臭臭

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√a
在等号两边同时取极限 解得极限是根号a 和负的根号a
这里由于x0>0,a>0
负的排除
8

u3096654

共回答了45个问题

用Xn+1和Xn相比可得Xn是单调减函数，那么显然limXn=0
0
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你能帮帮他们吗

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