（2010•徐州二模）已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线l的方程为x=-2，点P在准线l上，纵坐标为3t-[1/t]（t

（2010•徐州二模）已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线l的方程为x=-2，点P在准线l上，纵坐标为3t-[1/t]（t∈R，t≠0），点Q在y轴上，纵坐标为2t．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求证：直线PQ恒与一个圆心在x轴上的定圆M相切，并求出圆M的方程．
怣° 2021-06-22 悬赏5金币 已收到1个回答
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嗅嗅臭臭

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解题思路：（1）利用准线l的方程求出P值即可求出抛物线C的方程；
（2）先求出直线PQ的方程并设出对应圆的方程，利用直线PQ恒与定圆M相切，得到关于圆心横坐标和t以及半径的关系式，再利用与t值无关就可求出圆M的方程．

（1）设抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），
因为准线l的方程为x=-2，所以-
p
2=-2，即p=4，
因此抛物线C的方程为y2=8x；（4分）
（2）由题意可知，P(-2 ， 3t-
1
t)，Q（0，2t），
则直线PQ方程为：y-2t=
2t-(3t-
1
t)
2x，
即（t2-1）x+2ty-4t2=0，设圆心在x轴上，
且与直线PQ相切的圆M的方程为（x-x0）2+y2=r2（r＞0），
则圆心M（x0，0）到直线PQ的距离
|(t2-1)x0-4t2|

(t2-1)2+4t2=r，
即（t2-1）x0-4t2=r+rt2①或（t2-1）x0-4t2=-r-rt2②由①
可得（x0-r-4）t2-x0-r=0对任意t∈R，t≠0恒成立，
则有

x0-r-4=0
-x0-r=0，解得

x0=2
r=-2（舍去）由②可得
（x0+r-4）t2-x0+r=0对任意t∈R，t≠0恒成立，
则有

x0+r-4=0
-x0+r=0，可解得

点评：
本题考点： 圆与圆锥曲线的综合；抛物线的应用．

考点点评： 在求抛物线的标准方程时，因为抛物线的标准方程有四种情况，所以我们在作题时一定要先分析焦点所在位置以及开口方向．

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