如图三棱柱ABC~A1B1C1的侧棱AA1垂直底面ABC,∠ABC=90°,E是棱CC1上的动点,F是AB中点,AC=1

如图三棱柱ABC~A1B1C1的侧棱AA1垂直底面ABC,∠ABC=90°,E是棱CC1上的动点,F是AB中点,AC=1,
BC=2,AA1=4.
求,1,当E是棱CC1中点时,求证CF∥平面AEB1.
2,在棱CC1上是否存在点E,使得二面角A—EB1—B的余弦值是17分之2倍根号17,若存在,求出CE的长,若不存在说明理由.
半寸时光 2024-04-25 悬赏8金币 已收到2个回答
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beyond8377

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1.设AB1中点为G.连接各点.由AA1⊥底面ABC知此为直三棱柱.
由G为AB1中点,F为AB中点,得GF∥BB1且GF=1/2BB1.
由E为CC1中点,CE∥BB1且CE=1/2CC1=1/2BB1.
故GF∥CE且GF=CE,四边形GFCE为平行四边形.
故GE∥CF,CF∥平面AEB1.
2.以B为原点,BA为x轴,BC为y轴,BB1为z轴建立空间直角坐标系.设E（0,2,λ）.
故A（1,0,0）,B1（0,0,4）,AE=（-1,2,λ）,AB1=（-1,0,4）
由AA1垂直底面ABC得AA1⊥AB,BB1⊥AB,由∠ABC=90°知AB⊥BC,
故AB⊥平面BB1C1C,平面BB1E即平面BB1C1C法向量取BA=（1,0,0）.
设平面AEB1的法向量a=（x,y,z）,则a·AE=0,a·AB1=0
解得(λ-4)z=-2y,取z=-2,则y=λ-4,x=-8,即a=(-8,λ-4,-2).
由二面角A-EB1-B余弦值2√17/17得
2√17/17=cosθ=|cos|=|a·BA|/|a||BA|=8/√[64+4+(λ-4)²]
解得λ=4±2√51.
验证知均不在CC1上,故不存在.
（楼主是不是打错题了?）
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zush529

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