如图，已知△ABC的周长为a，连接△ABC三边中点构成第二个三角形，再顺次连接第二个三角形各边中点构成第三个三角形，依此

如图，已知△ABC的周长为a，连接△ABC三边中点构成第二个三角形，再顺次连接第二个三角形各边中点构成第三个三角形，依此类推．
（1）求第3个三角形的周长；
（2）求第n个三角形的周长；
（3）求第2008个三角形的周长与第2007个三角形周长的比．
策马走天涯 2024-07-24 悬赏22金币 已收到1个回答
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agress

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解题思路：（1）连接△ABC三边中点构成第二个三角形为A1B1C1，利用它的周长是△ABC的周长的[1/2]，求证△A1B1C1∽△ABC，
利用相似三角形周长比等于相似比推出
△A1B1C1
△ABC
=[1/2]，然后得出则第三个三角形的周长．
（2）由（1）方法依此类推，同理可推出第n个三角形的周长．
（3）将n=2008和n=2007分别代入
a
2n−1
，然后相比即可得出答案．

（1）由△ABC的周长为a，
连接△ABC三边中点构成第二个三角形为A1B1C1，
它的周长是△ABC的周长的[1/2]，
由△A1B1C1∽△ABC得
△A1B1C1
△ABC=[1/2]，
则第三个三角形的周长是由A1B1C1的[1/2]，
即为△ABC的周长[1/4]，
所以第3个三角形的周长为[1/4]a；

（2）由（1）知．则第三个三角形它的周长是△ABC的周长的[1/4]，
依此类推，第n个三角形的周长为[a
2n−1；

（3）第2008个三角形的周长为
a
22008−1=
a
22007，
第2007个三角形周长的为
a
22007−1=
a
22006，
则二者之比为
1/2]．
答：（1）第3个三角形的周长为[1/4]a；
（2）第n个三角形的周长为[a
2n−1；
（3）第2008个三角形的周长与第2007个三角形周长的比为
1/2]．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．

考点点评： 此题考查学生对相似三角形的判定与性质和三角形中位线定理的理解和掌握，此题关键是利用三角形中位线定理先求出第2个三角形与原三角形的相似比，然后求得第3个三角形与原三角形周长之比，依此类推，即可推出第n个三角形的周长为a2n−1．
这是此题的突破点．推出此式，下面的问题迎刃而解了．

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