一个正三角形纸片,（OAB0在直线L1上,OA编与直线L1重合,然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针旋转120°,

一个正三角形纸片,（OAB0在直线L1上,OA编与直线L1重合,然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针旋转120°,
此时,点O 运动到了点O1处,点运动到了点B1处；再将三角形纸片AO1B绕点B 按顺时针方向旋转120°,点A运动到了A1处,点O1运动到了O2处（即顶点O 经过上两次旋转到达O2处）.类比上面的问题,长为1的正方形纸片OABC放在直线L1上,OA边与直线L1重合,然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°,此时点O运动到了点O1处,即B点,点C运动到了点C1处,点B 运动到了点B1处；再将正方形纸片AO1C1B1绕点B按顺时针方向旋转90°.
(1)若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转,顶点o经过的路程为（ ）
（2）求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线L2围成图形的面积
（3）若正方形OABC按上述方法经过5次旋转,求顶点O 经过的路程
（4）正方形OABC按上述方法经过多少次旋转,顶点O 经过的路程是12（41+20倍的根号2）
病奴 2021-06-20 悬赏5金币 已收到1个回答
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神维

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如图①,小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l1上,OA边与直线l1重合,然后将三角形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转120°,此时点O运动到了点O1处,点B运动到了点B1处；小慧又将三角形纸片AO1B1绕点B1按顺时针方向旋转120°,此时点A运动到了点A1处,点O1运动到了点O2处（即顶点O经过上述两次旋转到达O2处）．
小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中,顶点O运动所形成的图形是两段圆弧,即和,顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和,并且这两段圆弧与直线l1围成的图形面积等于扇形AOO1的面积、△AO1B1的面积和扇形B1O1O2的面积之和．
小慧进行类比研究：如图②,她把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l2上,OA边与直线l2重合,然后将正方形纸片绕着顶点^按顺时针方向旋转90°,此时点O运动到了点O1处（即点B处）,点C运动到了点C1处,点B运动到了点B1处；小慧又将正方形纸片AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°,……,按上述方法经过若干次旋转后．她提出了如下问题：
问题①：若正方形纸片OABC接上述方法经过3次旋转,求顶点O经过的路程,并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l2围成图形的面积；若正方形纸片OA BC按上述方法经过5次旋转,求顶点O经过的路程；
问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转,顶点O经过的路程是?
请你解答上述两个问题．
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