如图，椭圆G的中心在坐标原点，其中一个焦点为圆F：x 2 +y 2 ﹣2x=0的圆心，右顶点是圆F与x轴的一个交点．已知

如图，椭圆G的中心在坐标原点，其中一个焦点为圆F：x 2 +y 2 ﹣2x=0的圆心，右顶点是圆F与x轴的一个交点．已知椭圆G与直线l：x﹣my﹣1=0相交于A、B两点．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求△AOB面积的最大值．
没有不劳而获℡ 2024-04-25 悬赏17金币 已收到1个回答
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劲奋姑娘在行动

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（I）设椭圆方程为 （a＞b＞0），
圆F的标准方程为（x﹣1） 2 +y 2 =1，圆心为F（1，0），
圆与x轴的交点为（0，0）和（2，0），
由题意a=2，半焦距c=1，
∴b 2 =a 2 ﹣c 2 =4﹣1=3，
∴椭圆方程为 ．
（Ⅱ）设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），
由 ，消元可得（3m 2 +3）y 2 +6my﹣9=0
∴y 1 +y 2 =﹣ ，y 1 y 2 =﹣
∴|y 1 ﹣y 2 |=
∴S △AOB = |OF||y 1 ﹣y 2 |=
令 ，则t≥1，m 2 =t 2 ﹣1
∴S △AOB =
∴S′ △AOB =
∵t≥1，
∴S′ △AOB ＜0
∴S △AOB 在t∈[1，+∞）上是减函数
∴当t=1时，S △AOB 取得最大值，最大值为 。
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