1平面内,是否存在一个点集合 使得点集合与平面内每个圆圆周相交于正好两点?

1平面内,是否存在一个点集合 使得点集合与平面内每个圆圆周相交于正好两点?
2平面内,是否存在一个点集合 使得点集合与平面内每个圆圆周相交正好两点 且圆的半径为1
原题
1 Is there a set S of points in the plane such that S intersects the circumference of every circle in exactly 2 points?
2
Is there a set S of points in the plane such that S intersects the circumference of every circle with radius1 in exactly 2 points?
遗失的完美-* 2024-05-02 悬赏22金币 已收到2个回答
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姒後

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(1)
不存在.
用反证法.
假设存在这样的点集合U,那么集合内至少有两个不同的点A,B
在直线AB之外另取任意一点C,那么C不在U中,否则过A,B,C三点的圆与U有3个交点,这不符合题意.
因此,平面内除直线AB以外的其他点都不在U中.
作一个在AB一侧的圆,这个圆与U中的集合没有交点,矛盾.
故这样的点集合不存在.
(2)
存在!构造如下
在平面直角坐标系中,构造集合
U={x|x=2k,k∈Z}
容易验证,平面上所有半径为1的圆都与U有正好两个交点.
15

拆客

共回答了124个问题

1. 不存在.
先任取一圆O, 设其与S相交于A, B两点.
任取直线AB外的任意一点C, 过A, B, C三点的圆与S仍相交于A, B两点.
即C不属于S, 由C的任意性, S包含于直线AB.
而平面上存在与直线AB不相交的圆, 其上没有S中的点, 矛盾.
2. 存在.
S可取为一族间距为2的平行线....
9
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