（2014•鹰潭二模）如图，已知椭圆x225+y216=1的右焦点为F2，点P是椭圆上任意一点，圆M是以PF2为直径的圆

（2014•鹰潭二模）如图，已知椭圆
x2
25
+
y2
16
=1的右焦点为F2，点P是椭圆上任意一点，圆M是以PF2为直径的圆．
（Ⅰ）若圆M过原点O，求圆M的方程；
（Ⅱ）写出一个定圆的方程，使得无论点P在椭圆的什么位置，该定圆总与圆M相切，请写出你的探究过程．
2023-09-26 悬赏金币 已收到1个回答
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解题思路：（Ⅰ）由已知条件推导出P是椭圆的短轴顶点，从而求出点M的坐标为（[3/2]，2）或（[3/2]，-2），进而能求出圆M的半径，由此能求出圆M的方程．
（Ⅱ）以原点为圆心，5为半径的定圆始终与圆M相内切，定圆的方程为x2+y2=25．利用圆的简单性质和两点间距离公式进行探究．

（Ⅰ）因为圆M过原点O，所以OP⊥OF2，
所以P是椭圆的短轴顶点，P的坐标是（0，4）或（0，-4），
于是点M的坐标为（[3/2]，2）或（[3/2]，-2），
∴圆半径r=|MP|=

9
4+4=[5/2]，
∴圆M的方程为(x−
3
2)2+(y−2)2＝
25
4或(x−
3
2)2+(y+2)2＝
25
4．…（6分）
（Ⅱ）以原点为圆心，5为半径的定圆始终与圆M相内切，
定圆的方程为x2+y2=25．…（8分）
探究过程为：设圆M的半径为r，定圆的半径为R，
因为|MO|=[1/2]|PF1|=[1/2]（10-|PF2|）
=5-[1/2]|PF2|=5-r，
所以当原点为定圆圆心，半径R=5时，
定圆始终与圆M相内切．…（13分）

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查圆的方程的求法，考查定圆始终与圆M相切的判断与探究，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．

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