已知动圆P过定点F(2,5)且与直线x=-2相切,圆心P的轨迹为曲线C

已知动圆P过定点F(2,5)且与直线x=-2相切,圆心P的轨迹为曲线C
(Ⅰ)求轨迹C的方程;
(Ⅱ)①过定点f(2,5)作互相垂直的直线l1,l2分别交轨迹C于点M,N和点R,Q,求四边形MRNQ面积的最小值;
②定点P(2,3),动点A,如是轨迹C3的三t点,且满足kPA•kP如=8,试问A如所在的直线是否过定点,若是,求出该定点的坐标;否则说明理由.
2022-07-03 悬赏20金币 已收到1个回答
大力神六合体 长隆鹦鹉模型 52TOYS猛兽匣 MB17翱翔者

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解题思路:(Ⅰ)由已知条件知圆心P的轨迹是焦点为F(2,0),准线为直线x=-2的抛物线,由此能求出点M的轨迹方程.
(Ⅱ)①设直线MN的方程为y=k(x-2),与y2=8x联立得:k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),
x1+x2
4k2+8
k2],由抛物线定义得到|MN|=|MF|+|NF|=
8(k2+1)
k2
,同理|RQ|=8(k2+1),由此能求出四边形MRNQ的面积的最小值.
②设A(
y12
8
y1
),B(
y22
8
y2
),则kPA
8
y1+4
kPB
8
y2+4
,从而得到y1y2+4(y1+y2)+8=0,由此能证明直线AB过定点(1,-4).

(Ⅰ)∵动圆P过定点F(2,0)且与直线x=-2相切,
∴圆心P的轨迹是焦点为F(2,0),准线为直线x=-2的抛物线,
∴点o的轨迹方程是y2=8x.
(Ⅱ)①由题意知直线l,l2的斜率都存在,且不为0,
设直线oN的方程为y=k(x-2),与y2=8x联立a:
k2x2-(uk2+8)x+uk2=0,设o(x,y),N(x2,y2),
∴x二+x2=
uk2+8
k2,
由抛物线定义知:|oN|=|oF|+|NF|=x+x2+u=
8(k2+二)
k2,
同理RQ的方程为y=-[二/k(x−2),|RQ|=8(k2+二),
∴S△RNQ=

2]|oN|•|RQ|
=p2•
(k2+二)2
k2=p2(k2+[二
k2+2)
≥p2(2+2)=二28,
当且仅当k2=二,即k=±二时取“=”号,
∴四边形oRNQ的面积的最小值为二28.
②设A(
y二2/8,y二),B(
y22
8,y2),y≠y2
∴kPA=
8
y二+u],kPB=
8
y2+u,
∴kPA•kPB=[6u
(y二+u)(y2+u)=8,
∴yy2+u(y+y2)+8=0,…(※)
lAB:y−y二=
8
y二+y2(x−
y二2/8),∴y=
8
y二+y2x+
y二

点评:
本题考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.

考点点评: 本题考查点的轨迹方程的求法,考查四边形面积最小值的求法,考查直线过定点的证明,解题时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用.

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