（2010•虹口区二模）已知：正数数列{an}的通项公式an=2×3n+23n−1（n∈N*）

（2010•虹口区二模）已知：正数数列{an}的通项公式an=
2×3n+2
3n−1
（n∈N*）
（1）求数列{an}的最大项；
（2）设bn=
an+p
an−2
，确定实常数p，使得{bn}为等比数列；
（3）（理）数列{Cn}，满足C1＞-1，C1≠
2
，Cn+1=
Cn+p
Cn+1
，其中p为第（2）小题中确定的正常数，求证：对任意n∈N*，有C2n-1＞
2
且C2n＜
2
或C2n-1＜
2
且C2n＞
2
成立．
（文）设{bn}是满足第（2）小题的等比数列，求使不等式-b1+b2-b3+…+（-1）nbn≥2010成立的最小正整数n．
生生漫 2022-01-18 悬赏金币 已收到1个回答
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ab72595

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解题思路：（1）首先对数列{an}的通项公式进行变形，由an＝2+
4
3n−1
分析an随n的变化规律再结合n∈N*即可获得问题的解答；
（2）结合条件充分利用等比数列的性质：等比中项即可获得含参数的方程，解方程即可获得参数的值，最后要注意参数的验证；
（3）对（理）首先结合（2）的结论对条件进行化简，然后对化简结果cn+1＝
cn+2
cn+1
(c1＞−1，c1≠
2
)结合结论进行化简，
利用数学归纳法可以证明对n∈N*，cn≠
2
，且(cn+1−
2
)(cn−
2
)＝
(1−
2
)(cn−
2
)
cn+1
＜0，进而即可获得问题的解答；
对（文）首先要结合p的取值不同进行分类讨论，其中左边利用等比数列的前n项和公式计算即可．注意下结论．

（1）an=2+[4
3n−1，随n的增大而减小，
∴{an}中的最大项为a1=4．
（2）bn=
2+
4
3n−1+p

4
3n−1＝
(2+p)(3n−1)+4/4＝
(2+p)•3n+(2−p)
4]，
{bn}为等比数列
∴b2n+1-bnbn+2=0（n∈N*）∴[（2+p）3n+1+（2-p）]2-[（2+p）3n+（2-p）][（2+p）3n+2+（2-p）]=0（n∈N*）
∴（4-p2）（2•3n+1-3n+2-3n）=0（n∈N*）
∴-（4-p2）•3n•4=0（n∈N*）
∴p=±2，
反之当p=2，bn=3n时，{bn}为等比数列；p=-2，bn=1时，{bn}为等比数列
∴当且仅当p=±2时，{bn}为等比数列．
（3）（理）按题意cn+1=
cn+2
cn+1(c1＞−1，c1≠
2)
∵c1＞-1，c2＞0，进而当n≥2时，cn＞0
cn+1-
2＝
(1−
2)cn+2−
2
cn+1＝
(1−

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合．

考点点评： 本题考查的是数列与不等式的综合问题．在解答的过程当中充分体现了数列与函数的思想、数学归难的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．

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