设函数f（x）=ex+2x-a（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范

设函数f（x）=ex+2x-a（a∈R，e为自然对数的底数）．若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（　　）
A．[1，e]
B．[1，1+e]
C．[e，1+e]
D．[0，1]
失爱觅心 2021-09-13 悬赏金币 已收到1个回答
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天使之翼

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由f（f（b））=b，可得f（b）=f-1（b）
其中f-1（x）是函数f（x）的反函数
因此命题“存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立”，转化为
“存在b∈[0，1]，使f（b）=f-1（b）”，
即y=f（x）的图象与函数y=f-1（x）的图象有交点，
且交点的横坐标b∈[0，1]，
∵y=f（x）的图象与y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称，
∴y=f（x）的图象与函数y=f-1（x）的图象的交点必定在直线y=x上，
由此可得，y=f（x）的图象与直线y=x有交点，且交点横坐标b∈[0，1]，
∴ex+2x-a=x
∴a=ex+x
设g（x）=ex+x
则g′（x）=ex+1＞0在[0，1]上恒成立，
∴g（x）=ex+x在[0，1]上递增，
∴g（0）=1+0=1，g（1）=e+1
∴a的取值范围是[1，1+e]，
故选：B
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