设Ω是由锥面z＝x2+y2与半球面z=R2−x2−y2围成的空间区域，Σ是Ω的整个边界的外侧，则∫∫xdydz+ydzd

设Ω是由锥面z＝
x2+y2
与半球面z=
R2−x2−y2
围成的空间区域，Σ是Ω的整个边界的外侧，则
∫∫
xdydz+ydzdx+zdxdy=
2
−1
2
πR3
2
−1
2
πR3．
钟其一人 2021-06-19 悬赏10金币 已收到1个回答
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meiyun

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解题思路：本题Σ是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，而积分区域Ω是锥面和半球面所围成的空间区域，因此考虑用球面（或柱面）坐标进行计算即可．

∵
∫∫
xdydz+ydzdx+zdxdy=
∭
Ω(
∂P
∂x+
∂Q
∂y+
∂R
∂z)dv＝3
∭
Ωdxdydz
而Ω＝(x，y，z)|
x2+y2≤z≤
R2−x2−y2，x2+y2≤
R2
2=(r，θ，φ)|0≤θ≤2π，0≤r≤
R

2，0≤φ≤
π
4
∴
∫∫
xdydz+ydzdx+zdxdy
=3
∫2π0dθ
∫
π
40sinφdφ
∫
R

20r2dr＝

点评：
本题考点： 利用柱坐标计算三重积分；利用球坐标计算三重积分；用高斯公式计算曲面积分．

考点点评： 此题利用高斯公式转换成三重积分比较简单，但是在计算三重积分的时候，要注意利用球面坐标系下的公式来计算．

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