(2014•舟山三模)已知动点P到直线l:x+4=0的距离与它到点M(2,0)的距离之差为2,记点P的轨迹为曲线C.

(2014•舟山三模)已知动点P到直线l:x+4=0的距离与它到点M(2,0)的距离之差为2,记点P的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)问直线l上是否存在点Q,使得过点Q且斜率分别为k1,k2的两直线与曲线C相切,同时满足k1+2k2=0,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
当初遇你 2021-05-16 悬赏5金币 已收到1个回答

Eric_454

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解题思路:(Ⅰ)根据抛物线定义,曲线C是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,由此能求出曲线C的方程.
(Ⅱ)设Q(-4,y0),过Q与C相切的直线设为y-y0=k(x+4),k≠0,联立
y2=8x
y−y0=k(x+4)
,得ky2-8y+8y0+32k=0,由此能求出存在点Q(-4,2)和(-4,-2),使得过点Q的两直线与曲线C相切,且满足k1+2k2=0.

(Ⅰ)根据抛物线定义,曲线C是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,
∴p=4,
∴曲线C的方程为y2=8x.
(Ⅱ)设Q(-4,y0),过Q与C相切的直线设为y-y0=k(x+4),k≠0,
联立

y2=8x
y−y0=k(x+4),得ky2-8y+8y0+32k=0,
∵直线与曲线C相切,
∴△=64-4k(8y0+32k)=0,∴4k2+y0k-2=0,


k1+k2=−
y0
4
k1k2=−
1
2,
∵k1,k2是两切线的斜率,且满足k1+2k2=0,
∴k1=-
y0
2,k2=
y0
4,又∵k1k2=−
1
2,∴y0=±2,
∴存在点Q(-4,2)和(-4,-2),使得过点Q的两直线与曲线C相切,且满足k1+2k2=0.

点评:
本题考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.

考点点评: 本题考查曲线方程的求法,考查满足条件的点是否存在的判断与求法,解题时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用.

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