如图,已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,AB=5,cos∠CAB=[3/5],AA1=4,点D

如图,已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,AB=5,cos∠CAB=[3/5],AA1=4,点D是AB的中点.

(1)求证:AC⊥BC1
(2)求证:AC1∥平面CDB1
(3)求三棱锥 A1-B1CD的体积.
风蛍月缓缓 2021-05-04 悬赏5金币 已收到1个回答

叶2020

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解题思路:(1)由余弦定理得BC,由勾股定理得AC⊥BC,由CC1⊥面ABC 得到CC1⊥AC,从而得到AC⊥面BCC1,故AC⊥BC1
(2)连接B1C交BC1于点E,则DE为△ABC1的中位线,得到DE∥AC1,从而得到AC1∥面B1CD.
(3)过C作CF⊥AB垂足为F,CF⊥面ABB1A1,面积法求CF,求出三角形DB1A1的面积,代入体积公式进行运算.

(1)证明:在△ABC中,由余弦定理得BC=4,∴△ABC为直角三角形,∴AC⊥BC.
又∵CC1⊥面ABC,∴CC1⊥AC,CC1∩BC=C,∴AC⊥面BCC1∴AC⊥BC1
(2)证明:设B1C交BC1于点E,则E为BC1的中点,连接DE,则DE为△ABC1的中位线,
则在△ABC1中,DE∥AC1,又DE⊂面CDB1,则AC1∥面B1CD.
(3)在△ABC中过C作CF⊥AB垂足为F,
由面ABB1A1⊥面ABC知,CF⊥面ABB1A1,∴VA1−B1CD=VC−A1DB1.
而S△DA1B1=
1
2A1B1•AA1=5×4×
1
2=10,

CF=
AC•BC
AB=
3×4
5=
12
5,


VA1−B1CD=
1
3×10×
12
5=8.

点评:
本题考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积.

考点点评: 本题考查证明线线垂直、线面平行的方法,求三棱锥的体积,求点C到面A1B1D的距离是解题的难点.

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